A Riemann-hipotézis, a szám elméletében, a német matematikus, Bernhard Riemann hipotézise a Riemann-zeta-függvény megoldásainak helyét illetően, amely kapcsolódik a prímszám-tételhez és fontos következményekkel jár a prímszám-eloszlás szempontjából. Riemann felvette a hipotézist az „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” című cikkben („Az előírt mennyiségnél kevesebb alapszámmal”), amelyet a Monatsberichte der Berliner Akademie 1859. novemberi kiadásában tett közzé („Havi áttekintés”). a Berlini Akadémia ”).
A zeta függvényt úgy definiáljuk, mint a végtelen sorozat ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, vagy kompaktabb jelölés esetén:, ahol az n kifejezések összegzése (Σ) 1-től végtelenig terjed a pozitív egész számokon keresztül, és s egy fixnél nagyobb pozitív egész szám, mint 1. A zeta-funkciót először a 18. században, svájci matematikus, Leonhard Euler vizsgálta. (Ezért néha Euler zeta függvénynek hívják. Az ζ (1) esetében ez a sorozat egyszerűen a harmonikus sorozat, amelyről az ókor óta ismert, hogy korlátozás nélkül növekszik - azaz az összeg végtelen.) Az Euler azonnali hírnevet ért el, amikor bizonyult 1735-ben, hogy a ζ (2) = π 2 /6 a probléma, hogy már elkerült a legnagyobb matematikusok a kor, beleértve a svájci Bernoulli család (Jakob, Johann, és Daniel). Általánosabban véve, Euler (1739) felfedezte a páros egész számú zeta függvény értéke és a Bernoulli számok közötti összefüggést, amelyek az x / (e x - 1) Taylor-sorozatbeli tágulási együtthatói. (Lásd még az exponenciális függvényt.) Még lenyűgözőbb, hogy 1737-ben Euler felfedezte a zeta függvényre vonatkozó képletet, amely magában foglalja a pozitív egész számokat tartalmazó végtelen kifejezések sorozatának és egy végtelen szorzatnak az összeget, amely minden prímszámot tartalmaz:
Riemann kiterjesztette a zeta függvény tanulmányozását az x + iy komplex számokra, ahol i = négyzetgyök √ − 1, kivéve az x = 1 sort a komplex síkban. Riemann tudta, hogy a zeta függvény nulla minden negatív egész számra −2, −4, −6,
(úgynevezett triviális nullák), és hogy végtelen számú nulla van a komplex számok kritikus sávjában, amelyek szigorúan az x = 0 és x = 1 vonalak közé esnek. Azt is tudta, hogy az összes nem-triviális nulla szimmetrikus a kritikus sor x = 1 / 2. Riemann feltételezte, hogy az összes nem-triviális nulla a kritikus vonalon van, ezt a sejtést később Riemann-hipotézisnek hívták.
1914-ben angol matematikus Godfrey Harold Hardy bebizonyította, hogy végtelen számú oldatok ζ (s) = 0 létezik a kritikus vonalon X = 1 / 2. Ezt követően a különböző matematikusok megmutatták, hogy a megoldások nagy részének a kritikus vonalon kell elhelyezkednie, bár a nem „triviális” megoldások gyakori „bizonyítéka” hibás. Számítógépeket is használtak megoldások tesztelésére, és az első tíz billió nem triviális megoldás a kritikus vonalon fekszik.
A Riemann-hipotézis bizonyításának messzemenő következményei lennének a számelméletre és a prímok kriptográfiában való felhasználására.
A Riemann-hipotézist már régóta a matematika legnagyobb megoldatlan problémájának tekintik. Ez volt a 10 megoldatlan matematikai probléma közül (a nyomtatott címben 23), amelyet német matematikus, David Hilbert a 20. századi matematikusok számára jelentett kihívásként a párizsi 1900. augusztus 8-án Párizsban megrendezett második matematikai kongresszuson. 2000-ben az amerikai matematikus Stephen Smale frissítette Hilbert elképzelését a 21. század fontos problémáinak felsorolásával; a Riemann-hipotézis első számú volt. 2000-ben Millenniumi Problémaként jelölték meg, amely a hét matematikai probléma egyike, amelyet a USA-ban, Massachusettsben, a Cambridge-i Clay Mathematics Institute választott ki külön díjra. Az egyes millenniumi problémák megoldása egymillió dollárt ér. Az Egyesült Államok Védelmi Fejlesztési Kutatási Projektje (DARPA) 2008-ban a DARPA matematikai kihívások egyikébe sorolta, 23 matematikai probléma, amelyre kutatási javaslatokat kért finanszírozásra - „Matematikai kihívás tizenkilenc: Állítsa be a Riemann-hipotézist. A számelmélet Szent Grálja. ”
