Euclid szélmalma

A Pitagorasz-tétel szerint a derékszögű háromszög lábain lévő négyzetek összege megegyezik a hipotenusz négyzetével (a derékszöggel ellentétes oldal) - az ismerős algebrai jelölésben a ² + b ² = c ². A babilóniaiak és az egyiptomiak találtak néhány egész számú hármat (a, b, c), amelyek kielégítik a kapcsolatot. Pythagoras (kb. 580 – kb. 500 bc) vagy egyik követője talán az első bizonyította a nevét viselő tételt. Euclid (kb. 300 bc) okosan demonstrálta a Pythagora-tételt elemeiben, amelyet az alak alakjából szélmalom-bizonyítékként ismertek.

1. Rajzoljon négyzetet a jobb ΔABC oldalára.

2. A BCH és az ACK egyenesek, mivel ∠ACB = 90 °.

3. ∠EAB = ∠CAI = 90 °, építés szerint.

4. ∠BAI = ∠BAC + ∠CAI = ∠BAC + ∠EAB = ∠EAC, 3-mal.

5. AC = AI és AB = AE, szerkezet szerint.

6. Ezért ΔBAI ≅ ΔEAC az oldalsó-szög-oldal tétel mellett (lásd Sidebar: Az Asses-híd), amint az az ábra a) részében látható.

7. Rajzoljon CF-et párhuzamosan a BD-vel.

8. Téglalap AGFE = 2ΔACE. Ez a figyelemre méltó eredmény két előzetes tételből származik: a) az ugyanazon alapon lévő háromszögek területe, amelyek harmadik csúcsa bárhol egy határozatlan ideig meghosszabbított vonalon helyezkedik el az alappal párhuzamosan, egyenlő; és b) a háromszög területe felének megegyezik az azonos alap- és magasságú bármely párhuzamos ábra (beleértve a téglalapot is) területével.

9. AIHC négyzet = 2ΔBAI, ugyanazzal a párhuzamos diagrammal, mint a 8. lépésben.

10. Ezért az AGFE téglalap = négyzet alakú AIHC, a 6., 8. és 9. lépéssel.

11. ∠DBC = ∠ABJ, mint a 3. és 4. lépésben.

12. BC = BJ és BD = AB, az 5. lépésben ismertetett módon.

13. ΔCBD ≅ ΔJBA, mint a 6. lépésben, és az ábra b) részében kiemelve.

14. Téglalap BDFG = 2ΔCBD, mint a 8. lépésben.

15. Négyzetes CKJB = 2ΔJBA, a 9. lépéshez hasonlóan.

16. Ezért a BDFG téglalap = négyzet alakú CKJB, a 10. lépéshez hasonlóan.

17. ABDE négyzet = AGFE téglalap + BDFG téglalap, szerkezet szerint.

18. Ezért az ABDE négyzet = négyzet AIHC + négyzet alakú CKJB, a 10. és a 16. lépéssel.

    Az Euklidész-elemek első könyve egy pont meghatározásával kezdődik, és a Pitagoraus-tételgel és annak fordítottjával fejeződik be (ha a háromszög két oldalán lévő négyzetek összege megegyezik a harmadik oldal négyzetével, akkor egy derékszögű háromszögnek kell lennie).. Ezt a konkrét meghatározástól az absztrakt és az univerzális matematikai állításig tartó utazást a civilizált élet fejlődésének szimbólumának tekintik. Kiváló példa arra, hogy Euclid érvelését a legfontosabb gondolkodásmóddal azonosítottuk, egy német fizikus és csillagász által 1821-ben tett javaslat, hogy beszélgetést kezdjenek a Mars lakóival, bemutatva nekik az értelmi érettségre vonatkozó állításainkat. Állításuk szerint csak annyit kellett tennünk, hogy felkeltsük érdeklődésüket és aprobációjukat: nagy szárazföldi szántás és ültetés a szélmalom diagramja alakjában, vagy mások javaslata szerint Szibériában vagy a Szaharában a Pitagóra-tételre utaló csatornák ásása, töltse fel őket olajjal, gyújtsa be és várja meg a választ. A kísérletet még nem próbálták meg, így nem volt tisztázva, vajon a Mars lakosainak nincs-e teleszkópja, nincs-e geometria vagy nincs-e léte.