Permutációk és kombinációk, a különféle módszerek, amelyekkel egy készletből objektumokat lehet kiválasztani, általában csere nélkül, részhalmazok létrehozására. Az alkészletek ezt a kiválasztását permutációnak nevezzük, ha a kiválasztás sorrendje tényező, kombináció, ha a sorrend nem tényező. A 17. század számos szerencsejátékához szükséges kívánt részhalmazok és az összes lehetséges részhalmaz arányának figyelembevételével a francia matematikusok, Blaise Pascal és Pierre de Fermat lendületet adtak a kombinatorika és a valószínűségi elmélet fejlesztéséhez.
kombinatorika: Binomiális együtthatók
n objektumot az egyszerre r elvett n dolog permutációjának nevezzük. A permutációk száma:
A permutációk és a kombinációk fogalmait és különbségeit annak különféle módszereinek bemutatásával lehet szemléltetni, amelyek segítségével egy objektumpárt kiválaszthatunk öt megkülönböztethető tárgy közül - például A, B, C, D és E betűk. Ha mindkettő a kiválasztott betűket és a kiválasztási sorrendet figyelembe veszik, akkor a következő 20 eredmény lehetséges:
A 20 lehetséges választás mindegyikét permutációnak nevezzük. Különösen öt objektum permutációinak nevezzük, amelyeket egyszerre kétszer készítünk, és az ilyen lehetséges permutációk számát az 5 P 2 szimbólum jelöli, az „5 permut 2” olvasással. Általánosságban elmondható, hogy ha n van objektum, amelyek közül lehet választani, és a permutációkat (P) az objektumok k felhasználásával kell egyszerre létrehozni, akkor a lehetséges permutációk számát az n P k szimbólum jelöli. Az értékelés képlete: n P k = n! / (N - k)! Az n! Kifejezés - „n tényező” olvasása - azt jelzi, hogy minden egymást követő pozitív egész számot 1-től n-ig, beleértve az n-et is, szorozni kell, és 0! Például ennek a képletnek az alkalmazásával öt objektum permutációja egyidejűleg kettő
(K = n esetén, n P k = n! Tehát 5 objektumra 5! = 120 elrendezés van.)
A kombinációkhoz k objektumot választunk n objektum halmaza közül, hogy megrendelés nélkül készítsen alkészleteket. Az előző permutációs példát a megfelelő kombinációval ellentétben az AB és a BA alkészletek már nem különálló szelekciók; az ilyen esetek kiküszöbölésével csak tíz különféle lehetséges részhalmaza marad: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE és DE.
Az ilyen részhalmazok számát n C k jelöli, olvassa el az „n válasszuk k” -t. Kombinációk esetén, mivel k objektumnak k van! elrendezések, vannak k! megkülönböztethetetlen permutációk minden egyes k objektum kiválasztásakor; így osztva a permutációs képletet k-vel! a következő kombinációs képletet kapja:
Ez megegyezik az (n, k) binomiális együtthatóval (lásd a binomiális tételt). Például öt objektum kombinációinak száma egyszerre kettő
Az n P k és n C k képleteket számláló képleteknek nevezzük, mivel felhasználhatók az esetleges permutációk vagy kombinációk számának megadására egy adott helyzetben anélkül, hogy mindet fel kellene sorolni.
