Differenciál egyenlet

Differenciál egyenlet, egy vagy több származékot tartalmazó matematikai nyilatkozat - vagyis a folyamatosan változó mennyiségek változási sebességét képviselő kifejezések. A differenciálegyenletek nagyon gyakoriak a tudományban és a mérnöki munkában, valamint a kvantitatív tanulmányok sok más területén, mivel a változásokon áteső rendszerek számára közvetlenül megfigyelhető és mérhető azok változási sebessége. A differenciálegyenlet megoldása általában olyan egyenlet, amely kifejezi az egyik változó funkcionális függőségét egy vagy több másoktól; általában állandó kifejezéseket tartalmaz, amelyek nem jelennek meg az eredeti differenciálegyenletben. Ennek egy másik módja az, hogy a differenciálegyenlet megoldása olyan funkciót hoz létre, amely felhasználható az eredeti rendszer viselkedésének előrejelzésére, legalábbis bizonyos korlátozásokon belül.

elemzés: Newton és differenciálegyenletek

az elemzés alkalmazása differenciálegyenletek, amelyek a különböző mennyiségek változási sebességét a jelenlegi értékükhöz viszonyítják,

A differenciálegyenletek több széles kategóriába sorolhatók, és ezeket tovább osztják több alkategóriára. A legfontosabb kategóriák a rendes differenciálegyenletek és a parciális differenciálegyenletek. Ha az egyenletben szereplő funkció csak egyetlen változótól függ, akkor annak származékai rendes származékok, és a differenciálegyenletet rendes differenciálegyenletnek osztályozzák. Másrészt, ha a függvény több független változótól függ, így annak származékai részleges származékok, akkor a differenciálegyenletet részleges differenciálegyenletnek osztályozzuk. A következő példák a közönséges differenciálegyenletekre:

Ezekben y jelentése a függvény, és t vagy x a független változó. A k és m szimbólumokat itt használjuk bizonyos állandók jelölésére.

Bármelyik is legyen a típus, a differenciálegyenletet n-edik rendre állítják, ha az n-es rend derivációját foglalja magában, de nincs ilyennél magasabb rend származéka. Az egyenlet egy példa a második rend részleges differenciálegyenletére. A közönséges és a részleges differenciálegyenletek elméletei jelentősen különböznek egymástól, ezért a két kategóriát külön kezelik.

Egyetlen differenciálegyenlet helyett a tanulmány tárgya lehet az ilyen egyenletek egyidejű rendszere. A dinamika törvényeinek megfogalmazása gyakran ilyen rendszerekhez vezet. Sok esetben az n. Sorrend egyetlen differenciálegyenlete előnyösen n párhuzamos egyenletrendszerrel helyettesíthető, amelyek mindegyike elsőrendű, így a lineáris algebrai technikák alkalmazhatók.

Egy közönséges differenciálegyenlet, amelyben például a függvényt és a független változót y-val jelölik, és x valójában az y lényeges tulajdonságainak implicit összefoglalása x-ként. Ezek a jellemzők feltehetően hozzáférhetők lennének az elemzéshez, ha kifejezett képlet lenne az y számára. Egy ilyen képletet, vagy legalább egy olyan x és y egyenletet (amely nem tartalmaz származékokat), amely levezethető a differenciálegyenletből, a differenciálegyenlet megoldásának nevezzük. Az egyenlet megoldásának az algebra és a kalkulus alkalmazásával történő levezetésének folyamatát az egyenlet megoldására vagy integrálására nevezzük. Meg kell azonban jegyezni, hogy a kifejezetten megoldandó differenciálegyenletek csak kis kisebbséget alkotnak. Ezért a legtöbb funkciót közvetett módszerekkel kell megvizsgálni. Még annak létezését is bizonyítani kell, ha nincs lehetőség ellenőrzésre előállítani. A gyakorlatban a numerikus elemzés módszereit alkalmazzák, számítógépek bevonásával, hogy hasznos megközelítő megoldásokat kapjanak.