Kúpos szakasz geometria

Kúpszelet, más néven kúpos, a geometria, bármilyen görbe által termelt a kereszteződés egy sík és egy köralakú kúp. A síknak a kúphoz viszonyított szögétől függően az metszéspont kör, ellipszis, hiperbola vagy parabola. Speciális (degenerált) kereszteződéses esetek fordulnak elő, amikor a sík csak a csúcson halad át (egyetlen pontot hoz létre), vagy a csúcson és a kúp másik pontján (egy egyenes vagy két keresztező egyenes létrehozásával). Lásd az ábrát.

Projektív geometria: Projektív kúpos szakaszok

A kúpos szakaszok egy jobb kör alakú kúp sík szakaszainak tekinthetők (lásd az ábrát). Figyelembe véve

A kúpos szakaszok alapvető leírása, de nem a neve, a Menaechmusra vezethető vissza (virágzott kb. 350 bc), mind a Platón, mind a Cnidus Eudoxus tanulója. Perga Apollonius (kb. 262–190 bc), a „nagy geométer” néven ismertette a kúpos szakaszok nevét, és az elsőként meghatározta a hiperbola két ágát (amelyek feltételezik a kettős kúpot). Apollonius nyolc kötetes írása a kúpos szakaszokról, a Conics az ókori világ egyik legnagyobb tudományos munkája.

Analitikai meghatározás

A kúpok sík görbékként is leírhatók, amelyek egy pont haladási pontjai (lokuszok) úgy vannak, hogy a rögzített ponttól (fókusz) és a rögzített vonaltól (iránytól) mért távolság aránya állandó, az úgynevezett a görbe excentricitása. Ha az excentricitás nulla, akkor a görbe egy kör; ha egyenlő egynel, akkor parabola; ha kevesebb, mint egy, egy ellipszis; és ha egynél nagyobb, akkor egy hiperbola. Lásd az ábrát.

Minden kúpos szakasz megfelel az Ax ² alakú második fokú polinomi egyenlet grafikonjának: ² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, ahol x és y változók, és A, B, C, D, E és F olyan együtthatók, amelyek az adott kúptól függnek. A koordinátatengelyek megfelelő megválasztásával bármely kúp egyenlete csökkenthető három egyszerű r alak egyikére: ^{x 2 / _{a 2} + y 2 / _{b 2} = 1, x 2 / _{a 2} - y 2 / _{b 2} = 1, vagy y 2 = 2 képpont, azaz ellipszisnek, hiperbolának és parabolának felel meg. (Egy ellipszis, ahol a = b valójában egy kör.) A koordinátarendszerek széles körű felhasználása a geometriai görbék algebrai elemzéséhez René Descartes-től (1596–1650) származik. Lásd a geometria története: derékszögű geometria.}

Görög eredetű

A kúpos szakaszok korai története kapcsolódik a „kocka megduplázódásának” problémájához. A kiréniai Eratosthenes (kb. 276–190 bc) szerint a delosiak konzultáltak az Apolló oraklájával, hogy segítsenek egy pestis megszüntetésében (kb. 430 bc), és utasítást kaptak, hogy építsenek Apollonak egy új oltárt, amely a régi oltár volumenének kétszerese. ugyanolyan köbmérettel. A Delians megdöbbentővel konzultált Platónnal, aki kijelentette: „az orákulum nem azt jelentette, hogy az isten kétszer akkora oltárt akar, hanem azt, hogy feladatának kitűzésekor szégyellte a görögöket a matematika elhanyagolása és megvetésük miatt. a geometria szempontjából. ” Chios Hippokratész (kb. 470–410 bc) először felfedezték, hogy a „Delian-probléma” redukálható úgy, hogy két átlagos arányt találjunk az a és a 2a között (az egyes oltárok térfogatai) - azaz olyan x és y meghatározása, hogy a: x = x: y = y: 2a. Ez megegyezik az x ² = ay, y ² = 2ax és xy = 2a ² egyenletek bármelyikének egyidejű megoldásával, amelyek megfelelnek két parabolának és hiperbolának. Később az Archimedes (kb. 290–211 bc) megmutatta, hogyan lehet kúpos metszeteket felhasználni a gömb két szegmensre osztására, amelyek adott aránnyal rendelkeznek.

A 200 bc-os ciklusok geometriailag megmutatták, hogy a fókuszban találkoznak a sugarak - például a Napból származó - sugarak, amelyek párhuzamosak a forradalom paraboloidjának tengelyével (amelyet egy parabola forgatásával szimmetriatengelye körül forgatnak). Az Archimedes azt állította, hogy ezt az tulajdonságot az ellenséges hajók tüzet gyújtására használta fel. Az ellipszis fókusz tulajdonságait Anthemius of Tralles, a Konstantinápolyi Hagia Sophia székesegyház egyik építõje említette (az 537. számú hirdetés befejezõdött) annak érdekében, hogy az oltár egész nap napfényben megviláguljon.