Riemann-zeta-függvény, a számelméletben hasznos függvény a prímszámok tulajdonságainak vizsgálatához. Írta: ζ (x), eredetileg a végtelen sorozatként definiálták (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Ha x = 1, ezt a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezik, amely korlát nélkül növekszik - azaz az összeg végtelen. 1-nél nagyobb x értékek esetén a sorozat véges számra konvergál, egymást követő kifejezések hozzáadásával. Ha x kisebb, mint 1, akkor az összeg ismét végtelen. A zeta funkciót a svájci matematikus, Leonhard Euler ismerte meg 1737-ben, de először a német matematikus, Bernhard Riemann tanulmányozta részletesen.
1859-ben Riemann kiadott egy papírt, amelyben kifejezetten megfogalmazták a prímszámok számát az előzetesen megadott határértékig - ez egy döntő javulás a prímszám tétel által megadott megközelítő értékhez képest. Riemann képlete azonban az volt, hogy tudjuk-e azokat az értékeket, amelyek mellett a zeta függvény általános változata egyenlő nullával. (A Riemann zeta függvényt az összes komplex számra definiáljuk - az x + iy formájú számokra, ahol i = √ − 1 négyzetgyöke - kivéve az x = 1 sort.) Riemann tudta, hogy a függvény nulla minden negatív párosra egész szám −2, −4, −6,
(úgynevezett triviális nullák), és hogy végtelen számú nulla van az x = 0 és x = 1 sorok közötti komplex számok kritikus sávjában, és azt is tudta, hogy az összes nem-triviális nulla szimmetrikus a kritikus szempontjából. sor x = 1 / 2. Riemann feltételezte, hogy az összes nem-triviális nulla a kritikus vonalon van, ezt a sejtést később Riemann-hipotézisnek hívták.
1900-ban, a német matematikus, David Hilbert a Riemann-hipotézist az egyik legfontosabb kérdésnek hívta a matematikában, amint azt a 23 megoldatlan probléma listájára való felvétele is felvette, amellyel a 20. századi matematikusokat kihívta. 1915-ben Godfrey Hardy angol matematikus bizonyította, hogy végtelen számú nulla fordul elő a kritikus vonalon, és 1986-ra az első 1 500 000 001 nem-triviális nullát kimutatták a kritikus vonalon. Noha a hipotézis tévesnek bizonyulhat, ennek a nehéz problémának a vizsgálata gazdagította a komplex számok megértését.
