Chios Hippokratész (kb. 460 bc) kimutatta, hogy a kör alakú ívek közötti hold alakú területek, nevezetesen a lúnák, pontosan egyenes vonalú területnek vagy kvadratúrának felelnek meg. A következő egyszerű esetben a derékszögű háromszög oldalain kialakított két lána kombinált területe megegyezik a háromszög területével.
-
A jobb ΔABC-vel kezdve rajzolj egy olyan kört, amelynek átmérője egybeesik az AB-vel (c oldal), a hipotenuussal. Mivel a hipoténusz körének átmérőjével rajzolt minden derékszögű háromszöget a körön belül kell feltüntetni, C-nek a körön kell lennie.
-
Rajzoljon az AC (b oldal) és BC (a oldal) átmérőjű félköröket az ábra szerint.
-
Címkézzük a kapott L 1 és L 2 lúgokat és az eredményül kapott S 1 és S 2 szegmenseket, az ábra szerint.
-
A lúnák (L 1 és L 2) összegének meg kell egyeznie az azokat tartalmazó félkörök (L 1 + S 1 és L 2 + S 2) összegével, levonva a két szegmenst (S 1 és S 2). Így L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (mivel egy kör területe π a sugár négyzetének szorzata).
-
A szegmensek (S 1 és S 2) összege megegyezik a félkör területével az AB alapján, levonva a háromszög területét. Így S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Az 5. lépésben szereplő kifejezés helyébe a 4. lépés lép, és az általános kifejezéseket kiszámítjuk, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Mivel ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, a Pythagora-tétel szerint. Így L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippokratésznek sikerült többféle lúnát négyzetbe négyzetbe helyezni, néhányat a félköröknél nagyobb és kevesebb ívekre, és felidézte, bár valószínűleg nem is hitte, hogy módszere egy egész kört négyzetre állíthat. A klasszikus korszak végén Boethius (kb. 470–524), akinek az Euclid kivonatának latin fordításai fél évszázadig villogni fogják a geometria villogását, megemlítette, hogy valaki elvégezte a kör négyszöget. Nem ismeretes, hogy az ismeretlen zseni felhasznált-e lúnát, vagy valamilyen más módszert, mivel Boethius helyhiány miatt nem adta be a demonstrációt. Így továbbadta a kör kvadratúrájának kihívását a geometria olyan fragmentumaival együtt, amelyek nyilvánvalóan hasznosak annak végrehajtásában. Az európaiak jóvoltából a megvilágosodás felé tartották a szerencsétlen feladatot. Végül, 1775-ben a Párizsi Tudományos Akadémia, eleget téve annak a feladatnak, hogy a sok benyújtott megoldásban megfigyelje a tévedéseket, megtagadta, hogy bármi más legyen a kör négyzet alakú négyzetével.
