A matematika alapjai

Kategóriaelmélet

Absztrakció a matematikában

A matematika fejlődésének egyik legújabb tendenciája az absztrakció fokozatos folyamata volt. A norvég matematikus, Niels Henrik Abel (1802–29) bebizonyította, hogy az ötödik fok egyenleteit általában a radikálisok nem tudják megoldani. A francia matematikus, Évariste Galois (1811–32), részben Abel munkája motiválva, néhány permutációs csoportot vezetett be, hogy meghatározzák a polinomi egyenlet megoldhatóságához szükséges feltételeket. Ezek a konkrét csoportok hamarosan elvont csoportokat hoztak létre, amelyeket axiomatikusan jellemeztek. Aztán rájött, hogy a csoportok tanulmányozásához meg kell vizsgálni a különféle csoportok közötti kapcsolatot, különös tekintettel a homomorfizmusokra, amelyek az egyik csoportot a másikra térképezik, miközben megőrzik a csoportműveleteket. Így az emberek elkezdték tanulmányozni, amit ma a csoportok konkrét kategóriájának hívnak, amelynek tárgyai csoportok és amelyek nyilai homomorfizmusok. Nem tartott sokáig, amíg a konkrét kategóriákat felváltották az elvont kategóriák, amelyeket ismét axiomatikusan írtak le.

A kategória fontos fogalmát Samuel Eilenberg és Saunders Mac Lane vezette be a második világháború végén. Ezeket a modern kategóriákat meg kell különböztetni Arisztotelész kategóriáitól, amelyeket a jelen összefüggésben jobban neveznek típusoknak. Egy kategória nemcsak tárgyakat, hanem nyilakat is tartalmaz (köztük morfizmusok, transzformációk vagy leképezések) is.

Számos kategóriában vannak objektumok halmazai, amelyek valamilyen szerkezettel és nyilakkal vannak ellátva, amelyek megőrzik ezt a szerkezetet. Tehát léteznek halmazok (üres szerkezettel) és leképezések, csoportok és csoportok homomorfizmusai, gyűrűk és gyűrű-homomorfizmusok, vektor terek és lineáris transzformációk, topológiai terek és folyamatos leképezések kategóriái és így tovább. Még egy absztraktbb szinten létezik a (kicsi) kategóriák és funkciós kategóriák, mivel nevezik a kategóriák közötti morfizmusokat, amelyek megőrzik az objektumok és a nyilak közötti kapcsolatokat.

Nem minden kategória tekinthető ilyen konkrét módon. Például, egy deduktív rendszer képleteit tekinthetjük olyan kategória objektumának, amelynek f: A → B nyilak B B következtetései A-tól. Valójában ez a szempont fontos az elméleti számítógépes tudományban, ahol a képletekre gondol mint típusok és levonások mint műveletek.

Formálisabban: a kategória a következőkből áll: (1) az A, B, C,. Objektumok gyűjteménye…, (2) a gyűjtemény minden rendezett objektumpára, egy kapcsolódó transzformációk gyűjteménye, beleértve az I _A ∶ A → A azonosítót, és (3) a hozzárendelt összetétel törvénye minden egyes rendezett objektum-hármasra a kategóriában úgy, hogy f ∶ A → B és g ∶ B → C a gf (vagy g ○ f) összetétel átalakulás A-ról C-re, azaz gf ∶ A → C. Ezenkívül az asszociatív törvényt és az identitásokat meg kell tartani (ahol a készítményeket meghatározott) -azaz, h (gf) = (HG) az f és 1 _B f = f = f1 _a.

Bizonyos értelemben az absztrakt kategóriájú objektumoknak nincsenek ablakai, mint a Leibniz-monádok. Egy tárgy belsejének következtetéséhez csak a többi objektumtól az A felé mutató összes nyilat kell megnéznie. Például a halmazok kategóriájában az A halmaz elemeit nyilakkal lehet ábrázolni egy tipikus, egy elemből álló A elemre. Hasonlóképpen, a kis kategóriák kategóriájában, ha 1 az egy objektummal rendelkező kategória, és nincs egyértelmű nyilak, az A kategóriájú objektumokat azonosíthatjuk az 1 → A funkciókkal. Továbbá, ha 2 az a kategória a két tárgy és egy nonidentity nyilat, a nyilak az A lehet azonosítani a funktorok 2 → A.

Izomorf szerkezetek

Egy nyíl f: A → B nevezzük izomorfizmus, ha van egy nyíl g: B → A inverz F-azaz, olyan, hogy g ○ f = 1 _A és F ○ g = 1 _B. Ezt A ≅ B betűvel írják, és A és B izomorfnak nevezik, vagyis lényegében azonos szerkezetű, és nincs szükség különbségtételre közöttük. Mivel a matematikai entitások kategóriák objektumai, csak izomorfizmusnak adják őket. Hagyományos elméleti konstrukcióik, amellett, hogy hasznos célokat szolgálnak a következetesség megmutatására, valóban irrelevánsak.

Például az egész számgyûrû szokásos konstrukciójában egy egészet a természetes számok (m, n) párjainak ekvivalencia osztályaként definiálnak, ahol (m, n) egyenértékû (m ′, n ′) -nel, ha és csak akkor, ha m + n ′ = m ′ + n. Az ötlet az, hogy az (m, n) ekvivalenciaosztályát m - n-ként kell tekinteni. A kategorikus számára azonban az a fontos, hogy az egész szám gyűrűje a gyűrűk és a homomorfizmusok kategóriájának kezdeti tárgya, azaz hogy minden gyűrűn a van egy egyedi homomorfizmus ℤ → ℝ. Ilyen módon tekintve ℤ csak az izomorfizmusnak felel meg. Ugyanebben a szellemben nem azt kell mondani, hogy ℤ a racionális számok ℚ mezőjében található, hanem csak, hogy a om → ℚ homomorfizmus egy-egy. Hasonlóképpen, nincs értelme beszélni a π és a √-1 négyzetgyöke halmazelméleti metszéspontjáról, ha mindkettőt halmazhalmazok halmazaiban ad ad meg (ad infinitum).

Különösen érdekes az alapítványokban és másutt a szomszédos funktorok (F, G). Ezek két ? és ℬ kategória közötti funktor-pár, amelyek ellentétes irányba haladnak úgy, hogy egy-egy egyezés létezik az (-ben az F (A) → B nyilak és az A → G (B) nyilak között.) ?-ben - azaz olyan, hogy a halmazok izomorfak.