Elemzési matematika

Az elemzés története

A görögök folyamatos nagyságrendűek

Az elemzés a matematika azon részeiből áll, amelyekben a folyamatos változás fontos. Ezek magukban foglalják a sima görbék és felületek mozgásának és geometriájának tanulmányozását - különösképp az érintők, területek és térfogatok kiszámítását. Az ókori görög matematikusok haladást értek el az elemzés elméletében és gyakorlatában egyaránt. Az elméletet körülbelül 500 bze-t kényszerítették rájuk az irracionális nagyságok pythagorói felfedezése, és körülbelül 450 bce-t Zeno mozgási paradoxonjai miatt.

A pitagorók és az irracionális számok

A pitagorok kezdetben úgy gondolták, hogy mindent meg lehet mérni a diszkrét természetes számokkal (1, 2, 3,

) és arányuk (rendes törtek vagy a racionális számok). Ezt a meggyőződést azonban megrázta az a felfedezés, hogy egy négyzet átlója (azaz egy négyzet, amelynek oldalainak hossza 1) nem fejezhető ki racionális számként. Ezt a felfedezést saját, Pythagora-tétel hozta létre, amely megállapította, hogy a derékszögű háromszög hipotenuszán lévő négyzet megegyezik a másik két oldal négyzeteinek összegével - modern jelölés szerint, c ² = a ² + b ². Egy négyzetben az átló egy derékszögű háromszög hipotenusza, amelynek oldala a = b = 1; ennélfogva a mértéke a√2 négyzetgyöke - egy irracionális szám. Saját szándékukkal szemben a pitagorók ezáltal bebizonyították, hogy a racionális számok nem elégségesek még az egyszerű geometriai objektumok méréséhez sem. (Lásd: Sidebar: Incommensurables.) Reakciójuk egy vonalszakasz számtani készítése volt, amint azt az Euklidész-elemek II. Könyve tartalmazza (kb. 300 bce), amely magában foglalja a racionális számok geometriai értelmezését. A görögök számára a vonalszakaszok általánosabbak voltak, mint a számok, mert magukban foglaltak mind folyamatos, mind diszkrét nagyságokat.

Valójában a√2 négyzetgyöke csak a végtelen folyamaton keresztül kapcsolódhat a racionális számokhoz. Ezt Euclid realizálta, aki mind a racionális számok, mind a vonalszakaszok számtani elemzését tanulmányozta. Híres euklideszi algoritmusa, amikor egy természetes számokra alkalmazza, véges számú lépésben vezet a legnagyobb közös osztójához. Ha irracionális arányú vonalszegmensekre alkalmazzák, például a√2 és 1 négyzetgyökére, akkor az nem szűnik meg. Euclid ezt a nemmeghatározó tulajdonságot még az irracionalitás kritériumaként is felhasználta. Így az irracionalitás megkérdőjelezte a görög szám fogalmát, kényszerítve őket végtelen folyamatok kezelésére.

Zeno paradoxonjai és a mozgás fogalma

Csakúgy, mint a√2 négyzetgyöke kihívást jelentett a görögök számkoncepciójára, Zeno paradoxonjai kihívást jelentettek a mozgásuk fogalmához. Arisztotelész fizikájában (kb. 350 bce) Zenót idézte:

Nincs mozgás, mert az elmozdítottnak a túra közepére kell érkeznie, mielőtt a végére érkezik.

Zeno érveit csak Arisztotelész ismeri, aki elsősorban azért tagadta őket. Feltételezhetően, hogy Zeno azt jelentette, hogy bárhová is eljuthat, először félúton kell mennie, és az út egynegyedének előtte, az út egy nyolcadának előtt és így tovább. Mivel ez a távolságok felére csökkentési folyamat végtelenségbe kerülne (egy olyan koncepció, amelyet a görögök nem fogadnának el lehetőleg), Zeno azt állította, hogy „bizonyítja”, hogy a valóság változtathatatlan lényből áll. A görögök a végtelenség iránti ellenére is úgy találták, hogy a koncepció nélkülözhetetlen a folyamatos nagyságrendű matematikában. Tehát a végtelenségig a lehető legfinomabban gondolkodtak, egy arányos elméletnek nevezett logikai keretben és a kimerültség módszerével.

Az arányok elméletét Eudoxus hozta létre körülbelül 350 bce-nél, és megőrizte az Euclid-elemek V. könyvében. Megállapította a pontos összefüggést a racionális nagyságrend és az önkényes nagyságrend között, meghatározva két nagyságot, amely egyenlő, ha a náluk alacsonyabb racionális nagyságok azonosak. Más szavakkal, két nagyságrend csak akkor különbözik egymástól, ha szigorúan közöttük van egy ésszerű nagyságrend. Ez a meghatározás két évezreden át szolgálta a matematikusokat és előkészítette az utat az elemzés aritmetizálásához a 19. században, amelyben az önkényes számokat szigorúan határozták meg a racionális számok alapján. Az arányelmélet volt a korlátok fogalmának első szigorú kezelése, amely ötlet a modern elemzés középpontjában áll. A modern értelemben az Eudoxus elmélete tetszőleges nagyságokat határozott meg a racionális magnitúdók korlátaiként, és az alaptételek az összegről, a különbségről és a nagyságrendszer szorzatáról egyenértékűek voltak a határok összegét, különbségét és szorzatait tartalmazó tételekkel.