Logika és metalogika
Az egyik értelemben a logikát azonosítani kell az első rend predátumbeli kalkulusával, azzal a kalkulussal, amelyben a változók rögzített domain egyénekre korlátozódnak - bár ez magában foglalhatja az identitás logikáját is, amelyet „=”, szimbólummal jelölnek, amely a logika részeként veszi az identitás szokásos tulajdonságait. Ebben az értelemben Gottlob Frege már 1879-ben elérte a formális logika számítását. Néha a logikát úgy értelmezik, hogy magában foglalja a magasabb rendű predikatív kalkulust is, amely magasabb típusú változókat is elfogad, például azokat, amelyek túllépik a predikátumokat (vagy osztályokat és kapcsolatokat) stb. De akkor ez egy kis lépés a halmazelmélet beépítéséhez, sőt, az axiomatikus halmazelméletet gyakran a logika részének tekintik. E cikk alkalmazásában azonban helyesebb a vitát az első értelemben vett logikára korlátozni.
Nehéz elkülöníteni a logikában a jelentős eredményeket a metalogikustól, mivel a logikákat érdeklő összes tétel a logikáról szól, ezért a metalogikához tartozik. Ha p egy matematikai tétel - különösképp a logikáról - és P a p bizonyításához felhasznált matematikai axiómák összekapcsolása, akkor minden p-t logikában „vagy nem-P vagy p” tételké alakíthatunk. A matematikát azonban nem a logikában formalizált összes lépés elvégzésével végezzük el; az axiómák megválasztása és intuitív megértése fontos mind a matematika, mind a metamatematika szempontjából. A logika tényleges következtetései, például azok, amelyeket Alfred North Whitehead és Bertrand Russell közvetlenül az első világháború előtt végeztek, kevés belső érdeklődést mutatnak a logikusok számára. Ezért feleslegesnek tűnik a metalogika kifejezés bevezetése. A jelen osztályozásban azonban a metalogikát úgy gondolják, hogy nemcsak a logikai számítások eredményeivel foglalkozik, hanem a formális rendszerek és általában a formális nyelvek tanulmányozásával is.
Egy közönséges formális rendszer abban különbözik a logikai kalkulustól, hogy a rendszernek általában egy szándékolt értelmezése van, míg a logikai kalkulus szándékosan nyitva hagyja a lehetséges értelmezéseket. Így például beszélhetünk a mondatok igazságáról vagy hamisságáról egy formális rendszerben, de a logikai kalkulus vonatkozásában az érvényességről (vagyis az igazság minden értelmezésben vagy az összes lehetséges világban) és a kielégíthetőségről (vagy modell létezése - azaz hogy igaz legyen bizonyos értelmezésnél). Ezért a logikai számítás teljességének egészen más jelentése van, mint a formális rendszeren: a logikai számítás sok mondatot lehetővé tesz, így sem a mondat, sem annak tagadása nem tétel, mivel egyes értelmezésekben igaz, másokban hamis, és csak azt kell megkövetelnie, hogy minden érvényes mondat tétel legyen.
