Formai logika

Szemantikus tábla

Az 1980-as évektől kezdve egy másik módszer az érvek érvényességének meghatározására mind PC-ben, mind LPC-ben némi népszerűségre tett szert, mind a tanulás könnyűsége, mind pedig a számítógépes programok általi egyszerű végrehajtása miatt. Eredetileg Evert W. Beth holland logikus javasolta, és az amerikai matematikus és logikus Raymond M. Smullyan fejlesztette ki és nyilvánosságra hozta. Támaszkodva arra a megfigyelésre, hogy lehetetlen, hogy egy érvényes érv feltételezései igazak legyenek, míg a következtetés hamis, ez a módszer megkísérli úgy értelmezni (vagy értékelni) a helyiségeket, hogy mindegyik egyszerre teljesüljön, és hogy a a következtetés szintén elégedett. Az ilyen erőfeszítések sikere az érvet érvénytelennek bizonyítja, míg az ilyen értelmezés hiánya azt igazolja.

A szemantikai táblázat felépítése a következőképpen történik: fejezzük ki az érvelés következtetéseit és tagadását PC-ben, kizárólag tagadást (∼) és disjjunciát (∨) használva, mint javaslati kötőelemeket. Kerülje el a két tagadási jel minden előfordulását egy sorrendben (pl. ∼∼∼∼∼a lesz ∼a). Készítsen egy lefelé elágazó favázlatot, úgy, hogy minden diszjunciót két ág váltja fel, az egyik a bal diszjunkt és a jobb felé. Az eredeti diszjunció igaz, ha bármelyik ága igaz. De Morgan törvényeire való hivatkozás azt mutatja, hogy a diszjunció tagadása igaz abban az esetben is, ha mindkét disjjunktus negatívumai igazak [azaz ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Ez a szemantikus megfigyelés ahhoz a szabályhoz vezet, hogy a diszjunció tagadása egy olyan ágmá válik, amely tartalmazza az egyes diszjunktumok tagadását:

Vegye figyelembe a következő érvet:

Ír:

Most törölje ki a diszjunktúrát, és formáljon két ágot:

Csak akkor, ha legalább egy ágban az összes mondat igaz, az eredeti tételek valósak és a következtetés hamisak (hasonlóan a következtetés tagadására). Ha az ágat felfelé követi az egyes ágakban a fa tetejére, megfigyelhető, hogy ha a bal oldali ágban nem értékelik, akkor az ág összes mondata megkapja az igaz értéket (az a és ∼a jelenléte miatt).. Hasonlóképpen, a jobb ágban a b és ∼b jelenléte lehetetlenné teszi, hogy az értékelés az ág minden mondatát eredményezze, amely az igaz értéket kapja. Ezek az összes lehetséges ág; ennélfogva lehetetlen olyan helyzetet találni, amelyben a helyzetek igazak, és a következtetés hamis. Az eredeti érv tehát érvényes.

Ez a technika kiterjeszthető más csatlakozókra is:

Ezenkívül az LPC-ben szabályokat kell bevezetni a számszerűsített wff-ek inhalálására. Nyilvánvaló, hogy minden olyan ág, amely mind (∀x) ϕx, mind ∼ϕy-t tartalmaz, abban az ágaban nem minden mondat egyidejűleg teljesíthető (ω-konzisztencia feltételezése mellett; lásd a metalogikát). Ha az összes ág nem biztos, hogy egyszerre teljesíthető, akkor az eredeti érv érvényes.

Speciális LPC rendszerek

Az LPC fentebb kifejtettek szerint a wff-tartomány korlátozásával vagy kibővítésével többféle módon módosítható:

• 1.PPC részleges rendszerek. A korlátozással létrehozott fontosabb rendszerek néhányát itt vázoljuk:

  • a.Feltételezhető, hogy minden predikatív változó monád legyen, miközben végtelen számú egyedi és predikatív változót is megenged. Az atomos wff-ek ezután egyszerűen azok, amelyek predikátumváltozóból, majd egyetlen egyedi változóból állnak. Egyébként a formálási szabályok a korábbiakhoz hasonlóan maradnak, és az érvényesség meghatározása ugyanúgy, mint korábban, bár nyilvánvaló módon egyszerűsítve vannak. Ez a rendszer monád LPC néven ismert; a tulajdonságok logikáját adja, de a kapcsolatok nem. Ennek a rendszernek az egyik fontos jellemzője, hogy eldönthető. (Még egyetlen diádikus predikatív változó bevezetése azonban a rendszert határozatlanná teszi, és valójában még a rendszer, amely csak egyetlen diád predikátum változót tartalmaz, és semmilyen más predikatív változót semmilyen módon nem bizonyítható.)

  • bA még egyszerűbb rendszert lehet létrehozni, ha megköveteli (1), hogy minden predikatív változó legyen monád, (2) hogy csak egyetlen egyedi változót (pl. x) használjon, (3) hogy ennek a változónak minden előfordulása be legyen kötve, és (4) hogy egyetlen más hatókörén belül sem történik számszerűsítés. Ennek a rendszernek a wfs példái a következők: (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („Bármi is, ψ és χ egyaránt”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Van valami, ami ϕ, de nem ψ”); és (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Ha bármi is van ϕ, akkor valami egyszerre ϕ és ψ”). Ennek a rendszernek a jelölése egyszerűsíthető, ha mindenhol elhagyja az x értéket, és a „Valami van ϕ”, ∀ (ϕ ⊃ ψ) writing betűvel írva „Minden, ami ϕ van ψ, stb. Bár ez a rendszer még a monád LPC-nál is rövidebb, mégpedig (ennek egy töredéke), a következtetések széles skálájának formái reprezentálhatók benne. Ez egyben dönthető rendszer, és ehhez elemi jellegű döntési eljárások adhatók.

• 2.Az LPC kiterjesztései. Kifejezettebb rendszerek, amelyekben az állítások szélesebb köre kifejezhető, úgy épültek fel, hogy különféle típusú új szimbólumokat adnak az LPC-hez. Az ilyen kiegészítések a legegyszerűbbek:

  • a.Egy vagy több egyedi állandó (mondjuk, a, b,

    ): ezeket az állandókat konkrét egyének nevének kell értelmezni; formálisan megkülönböztetik őket az egyes változóktól az a tény, hogy a számszerűsítő elemekben nem fordulhatnak elő; Például (∀x) egy számszerűsítő, de (∀a) nem.

  • b.Egy vagy több predikátumállandó (mondjuk A, B,

    ), mindegyik meghatározott fokozatú, úgy gondolva, hogy specifikus tulajdonságokat vagy összefüggéseket jelöl.

Egy további lehetséges kiegészítés, amely kissé teljesebb magyarázatot igényel, a funkciók megjelölésére szolgáló szimbólumokból áll. A függvény fogalmát a következőkben kellőképpen magyarázhatjuk a jelen célokból. Azt mondják, hogy n argumentum (vagy n fokozat) bizonyos funkciója van, ha létezik egy szabály, amely egyedi objektumot (azaz a függvény értékét határoz meg) minden argumentum megadásakor. Az emberek területén például az „anya” monád funkció (egy érv funkciója), mivel minden embernél van egy egyedi személy, aki az anyja; és a természetes számok tartományában (azaz 0, 1, 2,

), Az „és - összege” két érv függvénye, mivel minden természetes számpárhoz van egy természetes szám, amely az összegük. A függvényszimbólum úgy tekinthető, hogy egy nevet alkot más nevekből (érvei); tehát amikor az x és y megnevezi a számokat, az „x és y összege” egy számot is megnevez, és hasonlóan más típusú függvényekhez és argumentumokhoz.

A funkciók LPC-ben történő kifejezésének lehetővé tételéhez hozzáadhatunk:

• c.Egy vagy több függvényváltozó (mondjuk, f, g,

  ) vagy egy vagy több függvényállandó (mondjuk, F, G,

  ) vagy mindkettő, mindegyik meghatározott fokozattal. Az előbbit úgy kell értelmezni, hogy a megadott fokok függvényein túllépik, az utóbbi pedig a fok fokozott funkcióit jelölik.

Ha az a – c bármelyikét vagy mindegyikét hozzáadják az LPC-hez, akkor az alsó predikátumszámításra vonatkozó szakasz első bekezdésében felsorolt ​​formációs szabályokat (lásd fent az alsó predikátumszámításokat) módosítani kell az új szimbólumok beépítéséhez wffs. Ezt az alábbiak szerint lehet megtenni: Egy kifejezést először az alábbiak szerint definiálunk: (1) egy egyedi változó vagy (2) egy egyéni állandó vagy (3) bármely kifejezés, amelyet úgy alakítunk ki, hogy egy n fokozatú függvényváltozót vagy függvényállandót prefixálunk bármely n kifejezésre (ezeket a kifejezéseket - a függvényszimbólum érveit - általában vesszővel választják el és zárójelbe tették). Az 1. formációs szabály helyébe a következő szöveg lép:

• 1′.A kifejezés, amely egy n fokú predikátumváltozót vagy predikátumállandót, majd n kifejezést követ, egy wff.

Az LPC axiomatizálásáról szóló szakaszban megadott axiomatikus alap (lásd fent az LPC axiomatizációját) szintén a következő módosítást igényli: a 2. axióma sémában bármely kifejezés megengedett, hogy helyettesítse az β képződésekor, feltéve, hogy egyetlen változó, amely szabad a kifejezés kötődik β-ban. A következő példák szemléltetik az LPC fent említett kiegészítéseinek alkalmazását: legyen az egyes változók értékei a természetes számok; hagyjuk, hogy az egyes a és b állandók a 2. és a 3. számot jelöljék; hagyjuk, hogy egy „elsődleges”; és jelölje F a diádikus függvény „az összegét”. Ezután az AF (a, b) azt a kijelentést fejezi ki, amelyben a „2 és 3 összege prime”, és (∃x) AF (x, a) kifejezi azt az állítást, hogy létezik olyan szám, hogy annak és 2 összege prima.”

Az állandók bevezetése általában az állandókkal rendelkező speciális axiómák axiomatikus alapjának kiegészítésével kíséri, amelyek célja az azok által képviselt tárgyak, tulajdonságok, összefüggések vagy funkciók megtartására vonatkozó alapelvek kifejezése - bár nem tartalmaznak tárgyakat, tulajdonságokat, kapcsolatok vagy funkciók általában. Dönthetünk például úgy, hogy az A állandót használjuk a „nagyobb, mint” diádikus kapcsolat ábrázolására (úgy, hogy Axy jelentése: „x nagyobb, mint y” és így tovább). Ez a kapcsolat, sok másoktól eltérően, átmeneti; Vagyis ha egy objektum nagyobb, mint egy második, és ez a második viszont nagyobb, mint egy harmadik, akkor az első nagyobb, mint a harmadik. Ezért a következő speciális axiómasémát lehet hozzáadni: ha t ₁, t ₂ és t ₃ bármilyen kifejezés, akkor (₁ t ₂ · ₂ t ₃ -nál) ⊃ ₁ t ₃ esetén axióma. Ilyen módon rendszerek képezhetők a különféle tudományágak logikai struktúráinak kifejezésére. Az a terület, amelyen a legtöbb ilyen munkát elvégezték, a természetes szám számtani.

A PC-t és az LPC-t néha egyetlen rendszergé kombinálják. Ezt legegyszerűbben úgy lehet megtenni, ha javaslati változókat adunk hozzá az LPC primitívek listájához, hozzáadunk egy formációs szabályt annak érdekében, hogy egy állítólagos változó önmagában egy wff legyen, és töröljük az „LPC” kifejezést az 1. axióma sémából. mint (p ∨ q) ⊃ (∀x) x és (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-with-identitás. A „van” szót nem mindig használják azonos módon. Egy olyan állításban, mint például (1) „A Sokrates el van húzva”, a „van” kifejezés elõzõ kifejezést nevez az egyénnek, az azt követõ kifejezés pedig az adott egyénnek tulajdonított tulajdonságot jelöli. De egy olyan állításban, mint például (2) „Sokrates az aténi filozófus, aki ivott”, az „is” előtti és utáni kifejezések mindkettő név egyének, és a teljes állítás értelme az, hogy az első által megnevezett egyén ugyanaz az egyén, mint a második által megnevezett. Így a 2-ben az „is” kibővíthető „ugyanaz az egyén, mint”, míg az 1-ben nem. A 2. pontban az „az” egy olyan diád kapcsolat, nevezetesen az identitás, amely azt állítja, hogy tartani kell a két egyén között. Az identitási javaslatot ebben az összefüggésben úgy kell érteni, hogy csak ezt állítja; különösen nem szabad azt állítani, hogy a két elnevezési kifejezésnek ugyanaz a jelentése. Az utolsó pont illusztrálására egy sokat megvitatott példa a „A reggeli csillag az esti csillag”. Hamis, hogy a „reggeli csillag” és az „esti csillag” kifejezések ugyanazt jelentik, de igaz, hogy az előbbi által hivatkozott tárgy ugyanaz, mint az utóbbi (a Vénusz bolygó).

Az identitási állítások formáinak kifejezésének lehetővé tétele érdekében egy dádikus predátumállandót adunk az LPC-hez, amelynek a leggyakoribb jelölése = (az érvek közötti, nem pedig azelőtt írtak). X = y szándékolt értelmezése az, hogy x azonos egyén, mint y, és a legkényelmesebb olvasás: „x azonos az y-vel”. Ennek tagadását ∼ (x = y) általában x ≠ y rövidítéssel látjuk el. Az LPC-modell korábban megadott meghatározásához (lásd az LPC érvényességét fent) most kiegészül egy szabály (amely nyilvánvalóan megfelel a tervezett értelmezésnek), hogy x = y értéke 1-nek kell lennie, ha a D-et x-hez és y-hez egyaránt hozzárendeljük, és egyébként értéke 0-nak kell lennie; Az érvényesség ezután a korábbiak szerint meghatározható. Az LPC axiomatikus alapjához az alábbi kiegészítéseket (vagy néhány ekvivalens kiegészítést) tesszük: az x = x axióma és az axióma sémája, ahol a és b jelentése különálló változó, α és β pedig wff, amelyek csak abban különböznek egymástól, hogy egy vagy több olyan hely, ahol α szabadon fordul elő, β szabadon fordul elő b, ​​(a = b) ⊃ (α ⊃ β) axióma. Egy ilyen rendszert alacsonyabb predikátum-kalkulus-azonosító néven ismertek; természetesen tovább bővíthető az „LPC kiterjesztései” című, fent említett egyéb módokon is; ebben az esetben bármely kifejezés lehet = érve.

Az identitás ekvivalencia kapcsolat; azaz reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Reflexivitását közvetlenül az x = x axióma fejezi ki, a szimmetriáját és tranzitivitását kifejező tételek pedig a megadott alapból könnyen levezethetők.

Az LPC-val-azonossággal kapcsolatos bizonyos wfs kifejezi a dolgok számát, amelyek rendelkeznek egy adott tulajdonsággal. „Legalább egy dolog ϕ” természetesen már kifejezhető (∃x) ϕx-kel; „Legalább két különálló (nem életbeli) dolog things” kifejezhető (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); és a szekvencia nyilvánvaló módon folytatható. „Legfeljebb egy dolog ϕ” (vagyis: „nincs két különálló dolog mindkettő ϕ”) az utoljára említett wff tagadásával vagy azzal egyenértékű módon (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], és a sorozat ismét könnyen folytatható. A „Pontosan egy dolog ϕ” képletet úgy kaphatjuk, hogy összekapcsoljuk a „Legalább egy dolog ϕ” és „Legfeljebb egy dolog ϕ” képleteket, ám ennek a kötésnek ekvivalens egyszerűbb wff van (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], ami azt jelenti: „Van valami, ami ϕ, és bármi, ami ϕ, az az a dolog.” A „Pontosan két dolog ϕ” állítást a (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]} képviselheti; Vagyis: „Két nem életbeli dolog van, amelyek mindegyike ϕ, és bármi, ami ϕ, ezek közül egyet vagy más.” Nyilvánvaló, hogy ez a sorrend kibővíthető, hogy minden n számra egy „pontosan n dolog ϕ” képletet kapjunk. Kényelmes rövidíteni a wff-et „Pontosan egy dolog ϕ” -tól (∃! X) x-ig. Ezt a különleges mennyiségi mutatót gyakran hangosan olvassák el, mint „E-Shriek x”.

Határozott leírások

Ha egy bizonyos tulajdonság one egyetlen és egyetlen objektumhoz tartozik, akkor kényelmes egy kifejezés, amely az objektumot elnevezi. Általános jelölés erre a célra az (ιx) ϕx, amelyet úgy lehet értelmezni, mint „az a dolog, ami”, vagy röviden: „a”. Általában, ahol a jelentése bármely egyedi változó és α bármilyen wff, (ιa) α, akkor azt jelenti az a egyetlen értéke, amely az α valóra vált. A „so-and-so” forma kifejezését határozott leírásnak nevezzük; és (ιx), úgynevezett leírás operátor, úgy lehet tekinteni, hogy az egyén nevét alkotja a javaslat formájában. Az (ιx) analóg a kvantátorral abban, hogy amikor a wff-hez elõtagolták, akkor az x minden szabad előfordulását az α-ban megköti. A kötött változók újraismétlése is megengedett; a legegyszerűbb esetben a (ιx) ϕx és (ιy) ϕy-k mindegyike egyszerűen „a” -ként olvasható.

Ami a formálási szabályokat illeti, a meghatározott leírásokat be lehet építeni az LPC-be úgy, hogy az (ιa) α kifejezéseket kifejezésnek tekintjük; A fenti, az „LPC kiterjesztései” című 1 ′ szabály lehetővé teszi ezeknek az atomképletekben (beleértve az azonosító képleteket) előfordulását. „A ϕ (vagyis rendelkezik tulajdonsággal) ψ” ezután ψ (ιx) ϕx-ként fejezhető ki; „Y jelentése (ugyanaz az egyén, mint a) a ϕ”, mint y = (ιx) ϕx; „Φ (ugyanaz az egyén, mint a) the”, mint (ιx) ϕx = (ιy) ψy; és így tovább.

A határozott leírást tartalmazó állítások helyes elemzése komoly filozófiai viták tárgyát képezte. Az egyik széles körben elfogadott beszámoló - lényegében a Principia Mathematica-ban bemutatott és Russell-leírás-elméletként ismert - úgy véli, hogy a „ϕ” jelentése azt jelenti, hogy pontosan egy dolog ϕ, és ez a dolog ψ is. Ebben az esetben kifejezhető egy olyan LPC-vel, azonossággal, amely nem tartalmaz leírás operátort, nevezetesen: (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Hasonlóképpen, az „y a ϕ” elemzését úgy kell elvégezni, mint „y jelentése ϕ, és semmi más nem ϕ”, és ennélfogva (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y) kifejezéssel. A „ϕ az ψ” elemzése a következő: „Pontosan egy dolog ϕ, pontosan egy dolog ψ, és ami ϕ, ϕ”, és ennélfogva kifejezhető a (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) x, y = (ιx) ϕx és (ιx) ϕx = (ιy) ψy ezután az (1), (2) és (3) rövidítéseként tekinthető; és általánosítva a bonyolultabb esetekre, az összes olyan wff, amely leíró operátort tartalmaz, rövidítéseknek tekinthető a hosszabb, nem rendelkező wf-ek rövidítéseinek.

Az a elemzés, amely az (1) képlethez az „The ϕ ψ” képlethez vezet, az „The ϕ nem ϕ” következőre vezet: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Fontos megjegyezni, hogy (4) nem az (1) tagadása; ez a tagadás ehelyett (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. A (4) és (5) jelentése közötti különbség abban rejlik, hogy (4) csak akkor igaz, ha pontosan egy dolog van ϕ, és ez a dolog nem ψ, de (5) ebben az esetben igaz, és akkor is, ha semmi sem ϕ, és ha egynél több dolog is. A (4) és (5) közötti különbségtétel elhanyagolása a gondolatok súlyos zavarához vezethet; a szokásos beszédben gyakran nem egyértelmű, hogy valakinek, aki tagadja, hogy a ϕ ψ, egyetért azzal, hogy pontosan egy dolog ϕ, de tagadja, hogy ψ, vagy tagadja, hogy pontosan egy dolog ϕ.

Russell leíráselméletének alapvetõ állítása az, hogy egy határozott leírást tartalmazó állítást nem egy objektumra vonatkozó állításnak kell tekinteni, amelynek a leírás egy név, hanem egy egzisztenciálisan számszerûsített állításnak, miszerint egy (meglehetõsen összetett) tulajdonság rendelkezik egy példa. Formálisan ez tükröződik a fent leírt, a leíró operátorok megszüntetésére vonatkozó szabályokban.