Kontinuum hipotézis, halmazelmélet állítása, miszerint a valós számok halmaza (kontinuum) bizonyos értelemben olyan kicsi, amennyire csak lehetséges. 1873-ban a német matematikus, Georg Cantor bebizonyította, hogy a kontinuum megszámlálhatatlan - vagyis a valós számok nagyobb a végtelennél, mint a számláló számok - kulcsfontosságú eredmény a halmazelmélet matematikai tárgyként történő elindításában. Ezenkívül a Cantor kifejlesztett egy módszert a végtelen halmazok méretének osztályozására az elemek száma vagy kardinalitásuk alapján. (Lásd a meghatározott elméletet: Cardinality és transzfinites számok.) Ezekkel a feltételekkel a kontinuum hipotézisét az alábbiak szerint állíthatjuk: A kontinuum kardinalitása a legkisebb, megszámolhatatlan bíboros szám.
meghatározott elmélet: Cardinality és transzfinit számok
a folytonossági hipotézisnek nevezett sejtés.
Cantor jelölésében a kontinuum-hipotézist a 2 ℵ 0 = ℵ 1 egyszerű egyenlettel lehet állítani, ahol ℵ 0 egy végtelen számítható halmaz (mint például a természetes számok halmaza) bíboros száma, és a nagyobb „ jól megrendelhető készletek ”ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, a rendszámokkal indexálva. A kontinuum kardinalitása 2 ℵ 0-ra mutatható; így a kontinuum hipotézis kizárja a természetes számok és a kontinuum közötti köztes mérethalmaz létezését.
Erõsebb állítás az általánosított kontinuumhipotézis (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 minden α rendszámon. A lengyel matematikus, Wacław Sierpiński bebizonyította, hogy a GCH segítségével levezethető a választott axióma.
A választott axiómához hasonlóan, az osztrák születésű amerikai matematikus, Kurt Gödel 1939-ben bebizonyította, hogy ha a többi standard Zermelo-Fraenkel axióma (ZF; lásd a
táblázat) konzisztensek, akkor nem cáfolják a kontinuum hipotézist vagy akár a GCH-t sem. Vagyis a GCH-nak a többi axiómához való hozzáadása következetes marad. Aztán 1963-ban az amerikai matematikus, Paul Cohen kiegészítette a képet azzal, hogy a ZF konzisztenciájának feltételezésével ismét megmutatta, hogy a ZF nem bizonyítja a kontinuum hipotézisét.
Mivel a ZF nem bizonyítja és nem cáfolja a folytonossági hipotézist, továbbra is felmerül a kérdés, hogy elfogadják-e a folytonossági hipotézist, amely informális koncepción alapul, hogy mi a halmaz. A matematikai közösségben az általános válasz negatív: a folytonossági hipotézis korlátozó kijelentés olyan környezetben, ahol nincs ismert ok a korlátozás bevezetésére. A halmazelméletben a hatalomkészlet művelet az egyes alhalmazok halmazához rendel minden of α kardinális halmazt, amelynek 2 ℵ α kardinálissága van. Úgy tűnik, hogy nincs ok korlátozni a végtelen halmaz esetleges alhalmazának sokaságát.
