Euklideszi geometria
Ha figyelembe vesszük az euklideszi geometriát, egyértelműen észrevehetjük, hogy a merev testek helyzetét szabályozó törvényekre utal. Ez azt a zseniális gondolatot veszi figyelembe, amely a testtel és annak relatív helyzetével kapcsolatos összes kapcsolatnak a nagyon egyszerű „távolság” fogalmához vezet (Strecke). A távolság egy olyan merev testet jelöl, amelyen két anyagpont (jel) van megadva. A távolságok (és a szögek) egyenlőségének fogalma egybeesésekkel járó kísérletekre vonatkozik; ugyanezek a megjegyzések vonatkoznak a kongruenciára vonatkozó tételekre. Most az euklideszi geometria - az abban megadott formában, amelyet Euclid-nek adtak nekünk - az „egyenes vonal” és a „sík” alapfogalmakat használja, amelyek nem tűnnek egybe, vagy legalábbis nem olyan közvetlenül, a tapasztalatokkal. a merev testek helyzetére vonatkozóan. Ezzel kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy az egyenes fogalma a távolság fogalmára csökkenthető.1 Sőt, a geometrikusok kevésbé foglalkoztak az alapfogalmaik tapasztalathoz való viszonyának feltárásával, mint a kezdetben megfogalmazott néhány axióma geometriai állításainak logikus levezetésével.
Röviden vázoljuk fel, hogyan lehet az euklideszi geometria alapjait megszerezni a távolság fogalmából.
A távolságok egyenlőségétől (a távolságok egyenlőségének axiómája) kezdjük. Tegyük fel, hogy két egyenlőtlen távolság közül az egyik mindig nagyobb, mint a másik. Ugyanazokat a axómokat kell alkalmazni a távolságok egyenlőtlenségére, mint a számok egyenlőtlenségére.
Három AB 1, BC 1, CA 1 távolságot, ha a CA 1 megfelelően választja meg, a BB 1, CC 1, AA 1 jelölésük egymásra helyezhető úgy, hogy az ABC háromszög alakuljon ki. A CA 1 távolságnak van egy felső határa, amelyre ez az építkezés még mindig lehetséges. Az A, (BB ') és C pontok azután egyenes vonalban vannak (meghatározás). Ez a következő fogalmakhoz vezet: a távolságot egyenlő nagyságrenddel állítja elő; a távolság felosztása egyenlő részekre; a távolságot számban kifejezve egy mérőpálcával (a két pont közötti térköz meghatározása).
Ha a két pont közötti intervallum vagy a távolság hossza így fogalmazódott meg, akkor csak az alábbi axiómára van szükség (Pythagoras-tétel) az euklideszi geometria analitikai eléréséhez.
A tér minden pontjára (referenciatest) három számot (koordináta) adhatunk x, y, z - és fordítva - oly módon, hogy az A pontok mindegyik párjára (x 1, y 1, z 1) és B (x 2, y 2, z 2) a tétel érvényes:
mérési szám AB = négyzetgyökér {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Az euklideszi geometria minden további koncepcióját és javaslatát tisztán logikai alapon építhetjük fel ezen az alapon, különösen az egyenes és a sík vonatkozásában.
Ezeknek a megjegyzéseknek természetesen nem célja az euklideszi geometria szigorúan axiomatikus felépítésének felváltása. Csak azt akarjuk megvilágítani, hogy a geometria minden elgondolása hogyan vezethető vissza a távolság fogalmához. Ugyanígy valószínűleg a fenti utolsó tételben megfogalmaztuk az euklideszi geometria teljes alapját. A tapasztalat alapjaihoz való viszonyítást egy kiegészítő tétel segítségével lehetne biztosítani.
A koordinátát úgy kell megválasztani és úgy választani, hogy két, egymással egyenlő intervallumokkal elválasztott pontpár, a Pythagoras-tétel segítségével kiszámítva, egybeesjen egy és ugyanazon, megfelelően választott távolsággal (szilárd anyagon).
Az euklideszi geometria fogalmai és állításai Pythagoras állításából vezethetők le merev testek bevezetése nélkül; de ezeknek a fogalmaknak és javaslatoknak nem lenne olyan tartalma, amelyet tesztelni lehetne. Nem „igaz” állítások, hanem csak tisztán formális tartalom logikusan helyes állításai.
