Sturm-Liouville probléma matematika

Sturm-Liouville-probléma vagy sajátérték-probléma a matematikában a parciális differenciálegyenletek (PDE-k) egy bizonyos osztálya, amelyre a megoldásokon további korlátok vannak kitéve, nevezetesen határértékek. Az ilyen egyenletek általánosak mind a klasszikus fizikában (pl. Hővezetés), mind a kvantummechanikában (pl. Schrödinger-egyenlet) azoknak a folyamatoknak a leírására, amelyekben valamilyen külső értéket (határértéket) állandóan tartanak, míg az érdeklődéses rendszer valamilyen energiát közvetít.

Az 1830-as évek közepén a francia matematikusok, Charles-François Sturm és Joseph Liouville önállóan dolgoztak egy fémrúdon keresztüli hővezetés problémáján, kidolgozva a PDE-k nagy osztályának megoldására szolgáló technikákat, amelyek közül a legegyszerűbb a következő: (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, ahol y valamilyen fizikai mennyiség (vagy kvantummechanikai hullámfüggvény) és λ egy olyan paraméter vagy sajátérték, amely az egyenletet így korlátozza hogy y kielégíti a határértékeket azon intervallum végpontjain, amelyen az x változó tartományba esik. Ha a p, q és r függvények megfelelnek a megfelelő feltételeknek, akkor az egyenletnek a sajátérték-megoldásoknak megfelelő, sajátfunkcióknak nevezett megoldáscsalád lesz.

A bonyolultabb nem homogén esetekben, amikor a fenti egyenlet jobb oldala egy függvény, az f (x), nem pedig a nulla, a megfelelő homogén egyenlet sajátértékeit összehasonlíthatjuk az eredeti egyenlet sajátértékével. Ha ezek az értékek különböznek, akkor a probléma egyedi megoldást kínál. Másrészről, ha ezen sajátértékek egyike megegyezik, akkor a f (x) függvény tulajdonságaitól függően a feladatnak nincs megoldása vagy egy teljes családja.